Holomorfo funcion

Na el matematica, un holomorfo funcion es un funcion de complejo variable de uno o mas complejo variable que es complejo diferenciable na un entorno de cada punto na un dominio na el complejo espacio de maga coordenada $C n$ . El existencia de un complejo deritativo na un entorno es un muy fuerte condicion: ta implica ele que un holomorfo funcion infinitamente diferenciable (o suave) y localmente igual al de suyo propio serie de si Taylor (analitico). El maga holomorfo funcion el maga central objeto de estudio na el complejo analisis.

Masquen na manada situacion intercambiable el maga termino analitico funcion y "holomorfo funcion", definio el palabra "analitico" na un mas amplio sentio para denota con cualquier funcion (real, complejo o de un mas general tipo) expresable como un convergente serie de maga potencia na un entorno de cada punto na el de suyo dominio. Que todo el maga holomorfo funcion maga complejo analitico funcion, y viceversa, es un importante teorema na el complejo analisis.

El maga holomorfo funcion tiene vez denominao como maga regular funcion. Un completo funcion es un holomorfo funcion cuyo dominio es el entero complejo plano. Ta significa el frase "holomorfo a un punto $z 0$ " hinde lang diferenciable a $z 0$ , sino diferenciable por todo maga parte dentro de algun entorno de $z 0$ na el complejo plano.

Definicion

Para un funcion $f$ de un complejo variable lang, el derivada de $f$ a un punto $z 0$ na el de suyo dominio definible como el limite

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.

Esto es el mismo definicion como para el derivada de un real funcion, excepto que complejo todo el maga cantidad. Na particular, ta toma kita con el limite como el complejo numero $z$ tendiendo a $z 0$ , y ta significa esto que ta obtene kita con el mismo valor para cualquier sucesion de maga complejo valor para $z$ que ta tenda a $z 0$ . Si ta existi el limite, $f$ es complejo diferenciable a $z 0$ . Ta comparti este concepto de complex diferenciabilidad con manada propiedad con real diferenciabilidad: es lineal y ta obedece con el regla del producto, regla del cociente y el regla del cadena.

Holomorfo un funcion na un abierto conjunto $U$ si complejo diferenciable a cada punto de $U$ . Holomorfo un funcion $f$ a un punto $z 0$ si holomorfo na algun entorno de $z 0$ . Holomorfo un funcion na algun hinde abierto conjunto $A$ si holomorfo a cada punto de $A$ .

Puede un funcion complejo diferenciable a un punto pero hinde holomorfo a este punto. Por ejemplo, complejo diferenciable el funcion $f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}$ a $0$ , pero hinde complejo diferenciable na otro maga parte (mira con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, mas abajo). Ansina, hinde holomorfo a $0$ .

El relacion entre el real diferenciabilidad y el complejo diferenciabilidad es lo siguiente: Si holomorfo un complejo funcion $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , entonces ta tene $u$ y $v$ con maga primer parcial derivada con respeto a $x$ y $y$ , y ta satisface ellos con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann:

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

o, equivalentemente, el derivada de si Wirtinger de $f$ con respeto a ${\bar {z}},$ al complejo conjugao de $z,$ es cero:

{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,

es deci, a maga grande rasgo, funcionalmente independiente $f$ de ${\bar {z}},$ , el complejo conjugao de $z$ .

Si hinde cierto el continuidad, hinde necesariamente verdadero el converso. Un simple converso es que si ta tene $u$ and $v$ con maga continuo primer parcial derivada y ta satisface con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, entonces holomorfo $f$ . Un mas satisfaciente converso, mucho mas dificil de proba, es el teorema de si Looman–Menchoff: si continuo $f$ , ta tene $u$ y $v$ con maga primer parcial derivada (pero hinde necesariamente continuo), y ta satisface ellos con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, entonces holomorfo $f$ .

Terminologia

Introducio el termino holomorfo (Plantilla:Lang-es, French: holomorphe) na 1875 por si Charles Briot y si Jean-Claude Bouquet, dos maga estudiante de si Augustin-Louis Cauchy. Derivao este termino del griego ὅλος (hólos) "entero, completo" y μορφή (morphḗ)""forma, apariencia, tipo", a diferencia del termino meromorfo, derivao de μέρος (méros) "parte". Ta parece un holomorfo funcion a un completo funcion ("entero") na un dominio del complejo plano mientras que ta parece un meromorfo funcion (definio para significa holomorfo salvo a cierto maga aislao polo) a un racional funcion (un "parte") de maga completo funcion na un dominio del complejo plano. Na cambio, ya usa si Cauchy mismo con el termino sinectico (Plantilla:Lang-es, French: synectique).

Hoy dia, tiene vez preferio el termino "holomorfo funcion" a "analitico funcion". Un importante resultao na el complejo analisis es que cada holomorfo funcion es complejo analitico, un hecho hinde implicao (na un obvio manera) del maga definicion. Sin embargo, tambien ampliamente usao pa el termino "analitico".

Maga propiedad

Lineal el complejo diferenciacion, y ta obedece ele con el maga regla del producto, del cociente y del cadena, ansina que holomorfo el maga suma, maga producto y maga composicion de maga holomorfo funcion, y holomorfo el cociente de dos maga holomorfo funcion cuandoquiera hinde cero el denominador. Es deci, si holomorfo el maga funccion $f$ y $g$ na un dominio $U$ , ansina tambien $f + g$ , $f - g$ , $f g$ y $f \circ g$ . Ademas, holomorfo $f / g$ si hinde ta tene $g$ con cualquier cero na $U$ , o de lo contrario, meromorfo.

Si identificao $C$ con el real plano $R 2$ , entonces ta coincidi el maga holomorfo funcion con aquel maga funcion de dos maga real variable con maga continuo primer derivada que ta soluciona con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, un conjunto de dos maga parcial diferencial equacion.

Separable cada holomorfo funcion na el de suyo maga real e imaginario parte $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , y cada de este maga es un armonico funcion na $R 2$ (ta satisface cada con el ecuacion de si Laplace $\nabla 2 u = \nabla 2 v = 0$ ), con $v$ el armonico conjugao of $u$ . Conversamente, cada armonico funcion $u (x, y)$ na un simplemente conexo dominio $Ω \subset R 2$ es el real parte de un holomorfo funcion: Si $v$ el armonico conjugao de $u$ , distinto hasta un constante, entonces holomorfo $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ .

Ta implica el integral teorema de si Cauchy que ta desvanece el integral de contorno de cada holomorfo funcion a traves de un lazo:

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.

Aqui $γ$ es un rectificable paseo na un simplemente conexto complejo dominio $U \subset C$ cuyo punto de inicio es igual al de suyo punto de fin, y $f : U \to C$ un holomorfo funcion.

Ta declara el integral formula de si Cauchy que cada funcion, holomorfo dentro de un disco, determinao por completo por el de suyo maga valor al borde del disco. Ademas, supone que $U \subset C$ es un complejo dominio, $f : U \to C$ es un holomorfo funccion y el cerrao disco $D = Plantilla:Mset$ es completamente contenio na $U$ . $γ$ es el circulo formando con el frontera de $D$ . Entonces para cada $a$ na el interior de $D$ :

f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz

donde tomao el integral de contorno antihorario.

Escribible el derivada $f Plantilla:' (a)$ como un integral de contorno usando con el formula de diferenciacion de si Cauchy:

f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,

para cualquier simple lazo positivamente enrollando una vez alrededor de $a$ , y

f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},

para maga infinitesimal positivo lazo $γ$ alrededor de $a$ .

Na maga region donde hinde cero el primer derivada, conforme maga holomorfo funcion: ta preserva ellos con el maga angulo y el maga forma (pero hinde el maga tamaño) de maga chico figura.

Analitico cada holomorfo funcion. Es deci, ta tene un holomorfo funcion $f$ con maga derivada de cada orden a cada punto $a$ na el de suyo dominio, y ta coincidi con el de suyo propio serie de si Taylor a $a$ na un entorno de $a$ . De hecho, ta coincidi $f$ con el de suyo serie de si Taylor na cada disco centrao na aquel punto y dentro del dominio del funcion.

Desde un algebraico punto de vista, el conjunto de maga holomorfo funcion na un abierto conjunto es un conmutativo anillo y un complejo vectorial espacio. Ademas, el conjunto de maga holomorfo funcion na un abierto conjunto $U$ es un dominio de integridad si y solo si conectao el abierto conjunto $U$ . De hecho, es un localmente convexo espacio, el maga seminorma siendo el supremo na maga compacto subconjunto.

Desde un geometrico punto de vista, holomorfo un funcion $f$ a $z 0$ si y solo si el de suyo exterior derivada $df$ na un entorno $U$ de $z 0$ es igual a $f Plantilla:' (z) dz$ para algun continuo funcion $f Plantilla:'$ . Ta implica

\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz

que $df Plantilla:'$ tambien proporcional a $dz$ , implicando que el derivada $f Plantilla:'$ tambien holomorfo y ansina que $f$ infinitamente diferenciable. Similarmente, ta implica $d (f dz) = f Plantilla:' dz \land dz = 0$ que cada funcion $f$ que es holomorfo na el simplemente conexo region $U$ es tambien integrable na $U$ .

(Para un paseo $γ$ de $z 0$ a $z$ enteramente na $U$ , defini con ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ al luz del teorema del curva de si Jordan y del generalizao v, $F γ (z)$ independiente del particular eleccion de paseo $γ$ , y ansina $F (z)$ un bien definio funcion na $U$ teniendo con $F (z 0) = F 0$ y $dF = f dz$ .)

Maga ejemplo

Todo maga polynomio funcion na $z$ con maga complejo coeficientes son maga completo funcion (holomorfo na el entero complejo plano $C$ ), y tambien el exponectial funcion $exp z$ y el maga trigonometrico funcion ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ y ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (cf. formula de si Euler). El principal rama del compljo logaritmo funcion $log z$ es holomorfo na el dominio $C ∖ Plantilla:Mset$ . El cuadrao raiz funcion definible como ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ y poreso es holomorfo cuandoquiera el logaritmo $log z$ ansina tambien. El reciproco funcion $1 / z$ holomorfo na $C ∖ Plantilla:Mset$ . (El reciproco funcion, y cualquier otro racional funcion, is meromorfo funcion na $C$ .)

Como consecuencia del maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, debe constante cualquier holomorfo funcion de maga real valor. Poreso, hinde holomorfo el [[absoluto valor#Maga complejo numero|]] $Plantilla:Abs$ , el argumento $arg (z)$ , el real parte $Re (z)$ y el imaginario parte $Im (z)$ . Otro tipico ejemplo de un continuo funcion, hinde holomorfo, es el complejo conjugao ${\bar {z}}.$ (El complejo conjugao es antiholomorfo funcion.)

Manada variable

Ta generaliza el definicion de un holomorfo funccion a manada complejo variable de un sencillo manera. Un funcion $f:(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ na $n$ maga complejo variable es analitico a un punto $p$ si ta existi un entorno de $p$ na el que $f$ es igual a un convergent serie de potencia na $n$ maga complejo variable; el funcion $f$ es holomorfo na un abierto subconjunto $U$ de $C n$ si analitico a cada punto na $U$ . Ta demostra el lema de si Osgood (usando con el formula de multivariao integracion de si Cauchy) que, para un continuo funcion $f$ , equivalente esto a $f$ siendo holomorfo nada cada variable separadamente (que ta significa que si fijao cualquiera maga $n - 1$ maga coordenada, entonces el restriccion de $f$ es un holomorfo funcion del otro coordenada). Ta demostra el mucho mas profundo teorema de si Hartogs que el asuncion de continuidad: $f$ holomorfo si y solo si holomorfo na cada variable separadamente.

Mas generalmente, un funcion de manada complejo variable que es cuadrao integrable sobre cada compacto subconjunto del de suyo dominio es analitico si y solo si ta satisface ele con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann na el senio de maga distribucion.

El maga funcion de manada complejo variable son na cuanto basico manera mas complicao que maga funcion de un solo complejo variable. Por ejemplo, el region de convergencia de un serie de potencia hinde necesariamente un abierto bola; este maga region son maga logaritmicamente complejo dominio de si Reinhardt, el mas simple ejemplo del cual un polidisco. Sin embargo, tambien ta tene ellos con algun maga fundamental restriccion. Hinde como maga funcion de un solo complejo variable, muy limitao el maga dominio na el que hay maga holomorfo funcion hinde extensible a maga mas grande dominio. Tal conjunto llamao un dominio de holomorfia.

Holomorfo un complejo diferential $(p, 0)$ -forma $α$ si y solo si el de suyo antiholomorfo derivada de si Dolbeault es zero: $Plantilla:Overline α = 0$ .

Extension al funcional analisis

Artículo principal: Holomorfia de infinito maga dimension.

Extensible el concepto de un holomorfo funcion al maga espacio de infinito maga dimension del funcional analisis. Por ejemplo, usable el derivada de si Fréchet o de Gateaux para defini con un nocion de un holomorfo funcion na un espacio de si Banach sobre el cuerpo del maga complejo numero.

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