Homeomorfismo

For maga homeomorfismo na el teoria de maga grafo, see Homeomorfismo (teoria de maga grafo).

Not to be confused with homomorfismo.

"Topologico equivalencia" redirects here. For el topologico equivalencia na el maga dinamico sistema, see Topologico conjugacion.

Un frecuentemente repetio matematico chiste es que hinde puede el maga topologo distingui entre un taza de cafe y un donut, ya que since un suficientemente flexible donut reformable a un taza de cafe creando con un hoyuelo y progresivamente ampliando conele, mientras preservando con el agujero del donut na el asa del taza. Ta ilustra este que homeomorfo un taza de cafe y un donut (toro).

Na el matematico campo del topologia, un homeomorfismo (de maga griego raiz significando "(de) similar forma", nombrao por si Henri Poincaré), tambien conocio como un topologico isomorfismo o bicontinuo funcion, es un biyectivo y continuo funcion entre maga topologico espacio que ta tene con un continuo inverso funcion. El maga homeomorfismo son el maga isomorfismo na el categoria de maga topologico espacio, esto es, son ellos el maga mapa que ta preserva con todo el maga topologico propiedad de algun espacio. Homeomorfo dos maga espacio con un homeomorfismo entre ellos, e identico desde un topologico punto de vista.

A maga muy grande rasgo, un topologico espacio es un geometrico objeto, y el homeomorfismo es un continuo deformacion del objeto a un nuevo forma. Ansina, homeomorfo un cuadrao y un circulo, pero hinde homeomorfo un esfera y un toro. Hinde homeomorfo algun maga continuo deformacion, como el deformacion de un linea a un punto. Algun maga homeomorfismo hinde continuo deformacion, como el homeomorfismo entre un nudo de trebol y un circulo. Un homeomorfismo que es un continuo deformacion es un homotopia.

Definicion

Un funcion $f:X\to Y$ entre dos maga topologico espacio es un homeomorfismo si ta tene con el maga siguiente propiedad:

• $f$ es un biyeccion (uno a uno y sobreyectivo),
• $f$ es un continuo funcion,
• continuo tambien el inverso funcion $f^{-1}$ ($f$ es un abierto funcion).

Tiene vez llamao un homeomorfismo un bicontinuo funcion. Si ta existi tal funcion, homeomorfo $X$ y $Y$. Un autohomeomorfismo es un homeomorfismo de un topologico espacio a si mismo. Queda "homeomorfo" es un relacion de equivalencia na maga topologico espacio. Denominao el de suyo maga clase de equivalencia como maga clase de homeomorfismo.

Esencial el tercer requisito, que continuo ${\textstyle f^{-1}}$. Considera por ejemplo con el funcion ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ (el goniometrico circunferencia na Plantilla:Tmath) definio por${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ Biyectivo y continuo este funcion, pero hinde un homeomorfismo (${\textstyle S^{1}}$ compacto pero ${\textstyle [0,2\pi )}$ hinde). Hinde continuo el funcion ${\textstyle f^{-1}}$ al punto ${\textstyle (1,0),}$ porque masquen ta mapea ${\textstyle f^{-1}}$ con ${\textstyle (1,0)}$ a ${\textstyle 0,}$ tambien ta inclui cualquier entorno de este punto con maga punto cercanamente mapeao por este funcion ${\textstyle 2\pi ,}$ pero ta yace fuera del entorno el maga mapeao punto a maga intermedio numero.

Maga homeomorfismo el maga isomorfismo na el categoria de maga topologico espacio. Como tal,, el composicion de dos maga homeomorfismo es ansina mismo un homeomorfismo, y ta forma el conjunto de todo el maga autohomeomorfismo ${\textstyle X\to X}$ con un grupo, llamao el grupo de maga homeomorfismo de X, na manada situacion denotao como ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$ Puede este grupo recibi con un topologia, como el compacto-abierto topologia, que bajo cuanto asuncion ta transforma conele na un topologico grupo.

Para algun maga proposito, demasiao grande el grupo de maga homeomorfismo, pero por medio al relacion de equivalencia de isotopia, reducible este grupo al grupo de maga clase de isotopia.

Similarmente, como usual na el teoria de maga categoria, para dos maga homeomorfo espacio, el espacio de maga homeomorfismo between them, ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ es un torsor para el mago grupo de maga homeomorfismo ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ y ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ y, con un especifico homeomorfismo entre $X$ y $Y,$ identificao todo el tres maga conjunto.Plantilla:Fix/category

Maga ejemplo

Homeomorfo un espesao nudo de trebol a un solido toro, pero hinde isotopico na Plantilla:Tmath Maga continuo mapeo hinde firmi realizable como maga deformacion.

• Homeomorfo el abierto intervalo ${\textstyle (a,b)}$ al maga real numero Plantilla:Tmath para cualquier ${\textstyle a<b.}$ (Na este caso, ta dale ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$ con un bicontinuo mapeo hacia adelante, mientras ta dale maga escalao y traslao version del maga funcion tan o arg tanh con otro maga mapeo).
• Homeomorfo el 2-disco unidad ${\textstyle D^{2}}$ y el cuadrao unidad in Plantilla:Tmath; ya que deformable el disco unidad na el cuadrao unidad. Un ejemplo de un bicontinuo mapeo del cuadrao al disco es, na maga polar coordenada,
  $$(\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).$$
• Homeomorfo el grafo de un diferenciable funcion al dominio del funcion.
• Un diferenciable parametrizacion de un curva es un homeomorfismo entre el dominio del parametrizacion y el curva..
• Un carta de un variedad es un homeomorfismo entre un abierto subconjunto del variedad y un abierto subconjunto de un euclideo espacio.
• El estereografico proyeccion es un homeomorfismo entre el esfera unidad na Plantilla:Tmath, con un solo punto quitao, y el conjunto de todo el maga punto na Plantilla:Tmath (un bidimensional espacio).
• Si $G$ un topologico grupo, el de suyo mapa de inversion $x\mapsto x^{-1}$ es un homeomorfismo. Ademas, para cualquier $x\in G,$ el izquierda traslacion $y\mapsto xy,$ el derecha traslacion $y\mapsto yx,$ y el interior automorfismo $y\mapsto xyx^{-1}$ son maga homeomorfismo.

Maga contraejemplo

• Hinde homeomorfo Plantilla:Tmath ni Plantilla:Tmath para m ≠ n.
• Hinde homeomorfo el euclideo real recta al circulo unidad como un subespacio de Plantilla:Tmath, ya que compacto el circulo unidad como un subespacio de euclideo Plantilla:Tmath pero hinde compacto el real recta.
• Hinde homeomorfo el maga unidimensional intervalo $[0,1]$ y $]0,1[$ porque compacto el uno mientras hinde el otro.

Maga propiedad

• Ta comparti dos maga homeomorfo espacio con el mismo maga topologico propiedad. Por ejemplo, si compacto el uno, tambien el otro; si conectao el uno, tambien el otro; si el uno es un espacio de si Hausdorff, tambien el otro; ay coincidi el de ellos maga homotopia y maga grupo de homologia. Nota, sin embargo, que hinde ta extende esto a maga propiedad definio via un metrico espacio; hay maga metrico espacio que son homeomorfo masquen el uno es un completo metrico espacio y el otro hinde.
• Simultaneamente un homeomorfismo es un abierto y cerrao funcion, es deci, ta mapea ele con maga abierto conjunto a maga abierto conjunto y maga cerrao conjunto a maga cerrao conjunto.
• Extensible cada autohomeomorfismo na $S^{1}$ a un autohomeomorfismo del entero disco $D^{2}$ (truco de si Alexander).

Informal discusion

Ta requeri el intuitivo criterio de estira, dobla, corta y pega con un cierto cantidad de practica para aplica correctamente (hinde necesariamente obvio del anterior descripcion que impermisible deforma con un segmento a un punto, por ejemplo). Ansina hay que tene na cuenta que importante el formal definicion mas arriba. Na este caso, por ejemplo, ta posee el segmento con un infinidad de maga punto, y ansina imposible pone conele na un biyeccion con un conjunto que ta contene con solo un finito cantidad de maga punto, incluyendo con un solo punto.

Na manada situacion, ta lleva este caracterizacion de un homeomorfismo a un confusion con el concepto de homotopia. Definio el segundo como un continuo deformacion, pero de un funcion a otro, hinde de un espacio a otro. Na el caso de un homeomorfismo, envisiona con un continuo deformacion es un mental herramienta para rastrea con el maga punto na espacio X y el de ellos maga correspondiente maga punto na espacio Y: lang hay que segui con ellos mientras que ta deforma X. Na el caso de homotopia, lo esencial es el continuo deformacion del uno mapa al otro, y ademas menos restrictivo, ya que hinde necesario que inyectivo o sobreyectivo ningun mapa involucrao. Ta lleva gayot el homotopia a un relacion na maga espacio, el equivalencia de homotopia.

Hay un nombre para el tipo de deformacion involucrao na el visualizacion de un homeomorfismo. Es —excepto cuando necesario el corta y pega— un isotopia entre el mapa identidad na X y el homeomorfismo de X a Y.

Mira tambien

• Local homeomorfismo – Matematico funcion revertible cerca de cada punto
• Difeomorfismo – Isomorfismo de maga suave variedad; un suave biyeccion con un suave inverso
• Uniforme isomorfismo – Un uniformemente continuo homeomorfismo es un isomorfismo entre maga uniforme espacio
• Isometrico isomorfismo – Un matematico transformacion que ta preserva con el distancia es un isomorfismo entre maga metrico espacio
• Grupo de maga homeomorfismo
• Torsion de si Dehn
• Homeomorfismo de maga grafo – Concepto na el teoria de maga grafo (intimamente relacionao con el subdivision de maga grafo)
• Homotopia#Isotopia – Continuo deformacion entre dos maga continuo funcion
• Grupo de maga mapeante clase – Grupo de maga clase de maga isotopia de un topologico grupo de maga automorfismo
• Hipotesis de si Poincaré – Teorema na el geometrico topologia
• Universal homeomorfismo