Aritmetica

Maga general tabla del aritmetica para el maga bata (frances: Tables générales d'aritmétique a l'usage des enfans), Lausanne, 1835

El aritmetica (del antiguo griego ἀριθμός (arithmós) 'numero' y -τική (-tikḗ) 'arte') es un elemental parte del matematica que ta consisti na estudio del maga propiedad del maga tradicional operacion na maga numero — el adicion, sustraccion, multiplicacion, division, potenciacion y extraccion del maga raiz. Na el aca-19 siglo, ya formaliza el italiano matematico si Giuseppe Peano con el aritmetica con el de suyo maga axioma de Peano, hoy muy importante na el campo del matematico logica.

Historia

Ta limitao el historia del aritmetica a un chico numero de maga artefacto que puede indica con el concepcion del adicion y sustraccion.

Ta indica el maga mas temprano escrito registro que ya usa el maga egipcio y babilonico con todo el maga operacion — adicion, sustraccion, multiplicacion y division — na elemental aritmetica tan temprano como 2000 AEC. Hindi ta revela firmi este maga artefacto con el maga especifico proceso usao para soluciona con el maga problema, pero fuertemente ta influencia el maga caracteristica del particular sistema de numeracion con el complejidad del maga metodo usao por el de suyo maga usuario. Por ejemplo, ya proveni el jeroglifico sistema para el egipcio numeracion, como el maga romana numeracion mas tarde, del maga marca de conteo usao para el contaje. Na ambo caso, ya conduci este origen a maga valor que ya usa con un decimal base pero hinde ya inclui con posicional notacion. Na cuanto al maga romano numeracion, ya requeri el maja complejo calculacion con el asistencia de un romano abaco para obtene con el maga resultao.

El maga temprano sistema de numeracion que ya inclui con el posicional notacion hinde fue decimal, por ejemplo el sexagesimal (base 60) sistema para el babilonico numeracion y el vigesimal (base 20) sistema para el maya numeracion. Ya contribui al concepto de posicional valor — el habilidad de reutiliza con el maga mismo cifra para distinto maga valor — con mas simple y mas eficiente metodo de calculacion.

Ta comienza el continuo historical desarrollo del moderno aritmetico con el helenistico periodo del antigua Grecia, que ya origina mucho mas tarde que el maga babilonico y egipcio ejemplo mencionao arriba. Antes del maga obra de si Euclides alrededor de 300 AEC, ya solapa el maga griego estudio na matematica con el maga filosofico y mistico creencia. Si Nicomaco de Gerasa un ejemplo de este punto de vista, pues ya usa na el de suyo obra, Introduccion al Aritmetica, con el mas temprano pitagorico enfoque al maga numero y el de ila maga interrelacion.

Ya usa el griego numeracion si Arquimedes, Diofanto de Alejandria y otro maga matematico na una posicional notacion no muy diferente del moderno notacion. Ya carece el maga antiguo griego con un simbolo para cero hasta el helenistico periodo, y ya usa con tres maga distinto conjunto de simbolo como cifra: un conjunto para el lugar del maga unidad, uno para el lugar del maga decena y uno para el lugar del maga centena. Identico el de suyo algoritmo para el adicion al moderno metodo, y poco diferente el de suyo algoritmo para el multiplicacion. Identico tamen el de suyo algoritmo para el larga division, y ya conoce si Arquimedes (que siguro ya inventa con ele) con el algoritmo (popularmente usao tan recientemente como el aca-20 siglo) para el calculo del cuadrado raiz digito por digito. Ya preferi si Arquimedes con este al metodo de Heron de sucesivo aproximation porque, una vez computao, hinde ta cambia un cifra, y porque el maga cuadrado raiz del maga perfecto cuadrado son maga entero numero, ansina que por ejemplo √7485696 = 2736. Para el maga decimal numero, como 546.934, ya usa el maga antiguo griego con el maga negativo poder de 60 embes del maga negativo poder de 10 para el fraccional parte 0.934.

Ya tene el maga antiguo chino con maga avanzao estudio na aritmetica que ta remonta al dinastia Shang y ta continua por el dinastia Tang, desde el maga basico numero hasta el avanzao algebra. Ya usa el maga antiguo chino con un posicional numeracion similar al del maga griego. Sin embargo, ya carece tamen de un simbolo para cero, ansina que ya utiliza sila con un conjunto de maga simbolo para el lugar del maga unidad y otro para el lugar del maga decena. Para el lugar del maga centena, ya reutiliza sila con el maga simbolo para el lugar del maga unidad, y ansina sucesivamente. Ya base el maga simbolo na el antiguo numeracion con maga varilla. Hinde conocio el exacto hora cuando ya empieza a calcula el maga chino con el posicional representacion, maskin conocio que ya empieza el adopcion antes de 400 AEC. El maga antiguo chino fue el maga primero na descubri, entende y aplica de significativa manera con el maga negativo numero. Ta explica con ele el Jiuzhang Suanshu, escrio por Liu Hui, que ta remonta al aca-2 siglo AEC.

Ya llega el gradual e independiente desarrollo del indo-arabigo numeracion con el posicional notacion, que ya combina con el maga simple metodo para el calculo con un decimal base y el uso de un cifra para representa con 0. Poreso ya puede el sistema representa constantemente con el maga entero numero de cualquier tamaño, grande o chico, ansina que al fin ya reemplaza este enfoque con todo el maga otro. Al maga principio del aca-6 siglo EC, ya incorpora el indio matematico si Aryabhata con un existente version de este sistema na el de suyo trabajo y ya proba con maga diferente notacion. Na el aca-7 siglo EC, ya establece si Brahmagupta el uso de 0 como separao numero y ya determina el maga resultao para multiplicacion, division, adicion y sustraccion de cero y todo el maga otro numero, con excepcion del resultao del division por cero. Ya deci el de suyo contemporaneo, el siriaco obispo si Severus Sebokht (650 EC) que 'ta posee el maga indio con un metodo de calculacion que hinde puede elogia bastante el maga palabra. El de ila racional sistema del matematica, o el de ila metodo de calculacion. Ta referi al sistema que ta usa con el maga nueve maga simbolo.' Ya aprende tamen el maga arabe con este nuevo metodo y ya nombre con este ḥisāb (حِسَاب) 'calculacion, cuenta'.

El Stepped Reckoner de si Leibniz fue el primero calculadora que ya puede realiza con todo el cuatro maga aritmetico operacion.

Maskin ya describi el Codex Vigilianus con un temprano forma del arabe numeracion (sin 0) na 976 EC, primariamente responsable si Leonardo de Pisa (Fibonacci) para el difusion del arabe numeracion por todo Europa despues del publicacion del libro Liber Abaci na 1201. Ya escribi que 'ta sobresalta el metodo del maga indio [na latin, modus indōrum] con cualquier conocio metodo hasta el fecha. Es un maravilloso metodo. Ta realiza sila con maga calculo por nueve maga cifra y el simbolo cero'.

Na el Media Edad, el aritmetica fue un del siete maga liberal arte enseñao na el maga universidad.

El florecimiento del algebra na el medieval islamico mundo, y tamen na el Europa del Renacimiento, fue consecuencia del enorme simplificacion del calculo por medio del decimal notacion.

Ta existe maga vario tipo de maga herramienta para asisti na maga numerico calculacion. Antes del Renacimiento ya hay maga vario tipo de maga abaco. Ta inclui maga mas reciente ejemplo con el regla de calculo, el nomograma y el mecanico calculadora, como el de Pascal. Na el maga tiempo de aton, ta suplanta con sila el maga electronico calculadora y el computadora.

Maga aritmetico operacion

Véase también: Algebraico operacion.

El maga basico aritmetico operacion son el adicion, el sustraccion, el multiplicacion y el division, maskin ta inclui tamen el aritmetico con maga mas avanzao operacion, como el manipulacion del maga porcentaje, el maga cuadrado raiz, el potenciacion, el maga logaritmo, y hasta el maga trigonometrico funcion, para aproxima con el maga producto y el maga cociente (v.t. prostaferesis). Debe evalua con el maga aritmetico expresion segun el deseao secuencia de maga instruccion. Ta tiene manada metodo para especifica con este:

• o — mas comun, junto con el notacion de infijo — el uso explicito del maga parentesis y el dependencia na el orden de evaluacion,
• o el uso del polaco notacion (o el de suyo inverso), que fija unicamente con el orden de ejecucion.

Llamao un cuerpo cualquier conjunto de maga objeto donde realizable el cuatro maga aritmetico operacion (salvo el division por cero), y donde ta obedece este cuatro maga operacion con el maga usual ley (incluio el distributividad).

Adicion

El adicion, denotao por el simbolo $+$, es el mas basico operacion del aritmetica. Na el de suyo simple forma, ta combina el adicion con dos maga numero, el maga sumando o termino, na un solo numero, el suma (como 2 + 3 = 5 o 3 + 5 = 8).

Puede mira con el adicion de un finito cantidad de maga numero como repetio simple adicion. Ta conoce con este procedimiento como sumatorio, un termino usao tamen para denota con el definicion para 'el adicion de un infinito cantidad de maga numero' na un infinito serie. El repetio adicion del numero 1 es el mas basico forma del conteo, y el resultao del adicion de 1 es el sucesor del original numero.

Ta demostra el adicion con el comutatividad y el asociatividad, ansina que no ta importa el orden del maga termino sumao.

Ta tene el numero 0 con el propiedad de que, cuando añadio a cualquier numero, ta dale con el mismo numero, ansina que es el neutro elemento del adicion, o el aditivo identidad.

Para todo numero Plantilla:Mvar, ta tiene un numero denotao –x, llamao el opuesto o aditivo inverso de Plantilla:Mvar, donde x + (–x) = 0 y (–x) + x = 0. Ansina, el opuesto de Plantilla:Mvar es el simetrico elemento de Plantilla:Mvar con respeto al adicion, o el aditivo inverso de Plantilla:Mvar. Por ejemplo, el opuesto de 7 es −7, porque 7 + (−7) = 0.

Tamen puede interpreta con el adicion geometricamente, como na el siguiente ejemplo. Si ta tiene dos maga palo de longitud 2 y 5, entonces si alineao el maga dos de extremo a extremo, ta queda 7 el longitud del combinao palo, porque 2 + 5 = 7.

Sustraccion

Véase también: Metodo de maga complemento.

El sustraccion, denotao por el simbolo $-$, es el inverso operacion al adicion. Ta incuntra el sustraccion con el resta o diferencia entre dos maga numero, el minuendo menos el sustraendo: D = M − S. Na cuento al previamente establecio adicion, ta deci este que el resta es el numero que, cuando añadio al sustraendo, ta dale con el minuendo: D + S = M.

Para el maga positivo argumento Plantilla:Mvar and Plantilla:Mvar, verdadero que:

Si mayor el minuendo que el sustraendo, el resta Plantilla:Mvar es positivo.

Si menor el minuendo que el sustraendo, el resta Plantilla:Mvar es negativo.

Na cualquier caso, si igual el minuendo y sustraendo, el resta D = 0.

Ni comutativo ni asociativo el sustraccion. Poreso na manada situacion ta descarta el construccion de este inverso operacion na el moderno algebra a favor de introduci con el concepto del maga inverso elemento (como bosquejao bajo § Adicion arriba) donde el sustraccion es el suma del aditivo inverso del sustraendo y el minuendo, es deci, a − b = a + (−b). El inmediato precio del descarte del binario operacion del sustraccion es el introduccion del (trivial) unario operacion, que ta dale con el aditivo inverso para cualquier numero, y el perdida del inmediato acceso al nocion del resta. Potencialmente engañoso este perdida cuando involucrao el maga negativo argumento.

Para cualquier representacion del maga numero, ta tiene maga metodo para calcula con el resultao, y ventajoso alguno maga para el explotacion del maga procedimiento. Por ejemplo, puede reutiliza el maga digital computadora con el maga existente sistema de maga circuito imbes de requeri con maga adicional circuito para implementa con el sustraccion, por medio del metodo del complemento a dos para representa con el maga aditivo inverso, muy facil implementa na el hardware (negacion). El compensacion es el parti na dos del rango del maga numero para un fijao longitud de un palabra.

Un anteriormente extendio metodo para logra con el correcto cantidad de cambio (moneda), sabio ya el maga cantidad debio, es el metodo de conta hacia arriba, que no ta genera explicitamente con el valor del diferencia. Supone que pagao un cantidad P para paga el requirio cantidad Q, con P mayor que Q. Imbes de realiza explicitamente con el sustraccion P − Q = C y conta con el cantidad C na cambio, contao el dinero desde el sucesor de Q, y ta continua na el maga etapa del dinero, hasta llega con P. Maskin igual el cantidad ansina contao al resultao del sustraccion P − Q, nunca realmente realizao el sustraccion y hinde suministrao el valor de P − Q por este metodo.

Multiplicacion

El multiplicacion, denotao por el maga simbolo $\times$ o $\cdot$, es el aca-segundo basico operacion del aritmetica. Como el adicion, ta combina tamen el multiplicacion con dos maga numero na un solo numero, el producto. El dos maga original numero son el multiplicador y el multiplicando, o mas comunmente el maga factor o coeficiente.

Puede considera con el multiplicacion como un operacion de escala o repetio adicion. Por ejemplo, ta corresponde 3 × 4 con el adicion de 3 4 veces, o 4 3 veces, que ta dale con el mismo resultao. Ta tiene maga diferente opinion sobre el utilidad de este maga paradigma para el matematico educacion.

Comutativo y asociativo el multiplicacion. Ademas, distributivo sobre el adicion y el sustraccion. El multiplicativo identidad es 1, porque ta dale el multiplicacion de 1 y cualquier numero con el mismo numero. El multiplicativo inverso para cualquier numero salvo 0 es el reciproco de este numero, porque ta dale el multiplicacion de cualquier numero y el de suyo reciproco con el multiplicativo identidad 1. 0 es el unico numero sin ningun multiplicativo inverso, y el resultao del multiplicacion de cualquier numero y 0 es 0. O, na maga matematico termino, hinde contenio 0 na multiplicativo grupo del maga numero.

Escrio el producto de Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar como a × b o a·b, o tiene vez por simple yuxtaposicion: ab. Na maga lenguaje de programacion y maga paquete de software como MATLAB (donde solo disponible el maga caracter normalmente incuntrao na un teclado) na manada situacion escrio con un asterisco: a * b.

De lejos mas costoso y laborioso, que el maga para el adicion, el maga algoritmo que ta implementa el operacion del multiplicacion para manada representacion del maga numero. Na cuanto al maga accessible para el manual calculo, o ta conta con el desintegracion del maga factor al de suyo maga posicional valor y el repetio adicion, o ta conta con el uso del maga matematico tabla o maga regla de calculo — na otro maga palabra, ta mapea sila con el multiplicacion al adicion, o viceversa. Anticuao este metodo, y gradualmente reemplazao por el maga movil dispositivo. Ta utiliza el maga computadora con maga diverso, sofisticao y muy optimizao algoritmo para implementa con el multiplicacion y el division para el maga formato de numero apoyao por el de ila maga sistema.

Division

El division, denotao por el maga simbolo $\div$ o $/$, es esencialmente el inverso operacion al multiplicacion. Ta incuntra el division con el cociente de dos maga numero, el dividendo dividio por el divisor. Bajo el maga comun regla, hinde definio el division por cero. Para el maga distinto positivo numero, si mayor el dividendo que el divisor, mayor el cociente que 1, de lo contrario menos que o igual a 1 (ta aplica tamen un similar regla para el maga negativo numero). Ta dale firmi el cociente multiplicao por el divisor con el dividendo.

Ni comutativo ni asociativo el division. Ansina, como explicao na § Sustraccion, descartao el construccion de division na moderno algebra a favor del construccion del maga inverso elemento con respeto al multiplicacion, como introducio na § Multiplicacion. Ansina el division es el multiplicacion del dividendo con el reciproco del divisor como el maga factor, es deci, a ÷ b = a × Plantilla:Sfrac.

Dentro del maga natural numero, ta tiene tamen un diferente pero relacionao nocion llamao el euclideo division, que ta dale con dos maga numero tras el 'division' de un natural Plantilla:Mvar (numerador) por un natural Plantilla:Mvar (denominador): primero un natural Plantilla:Mvar (cociente), y entonces un natural Plantilla:Mvar (resto) donde N = D×Q + R y 0 ≤ R < Q.

Na cierto maga contexto, incluio el programacion y el avanzao aritmetica, extendio el division con otro salida para el resto, na manada situacion tratao como separao operacion (el modulo operacion), denotao por el simbolo $\%$ o el palabra $mod$, maskin tiene vez ta tiene otro salida para un operacion "divmod". Na cualquier caso, ta conta el modular aritmetica con un variedad de maga uso. Ta corresponde el maga diferente implementacion del division (truncao, euclideo, etc.) con maga diferente implementacion del modulo.

Fundamental teorema del aritmetica

Ta declara el fundamental teorema del aritmetica que ta tene cualquier entero mayor que 1 tiene un solo factorizacion de maga primo (un representacion de un numero como el producto de maga primo factor) sin importa el orden del maga factor. Por ejemplo, ta tiene 252 con un solo factorizacion:

252 = 2² × 3² × 7¹

Ya introduci por primera vez el Maga Elemento de Euclides con este teorema, y ya dale con un parcial prueba (llamao ya el lema de Euclides). Ya proba por primera vez si Carl Friedrich Gauss con el fundamental teorema del aritmetica.

El fundamental teorema del aritmetica es un del maga razon por que hinde considerao 1 como un primo. Ta inclui otro maga razon con el criba de Eratostenes, y el definicion de un primo mismo (un natural numero mayor que 1 hinde formao por el producto de dos maga menor natural numero).

Decimal aritmetico

Ta referi el decimal representacion, na comun uso, al escrio sistema de numeracion que ta emplea con el maga arabigo cifra como el maga cifra para un base 10 ('decimal') posicional notacion. Sin embargo, puede referi conceptualmente el 'decimal notacion' o 'decimal representacion' a cualquier sistema de numeracion basao na el maga poder de 10, e.g. el griego, cirilico, romano o chino.

Ya idea por primera vez si Brahmagupta de India con el moderno metodo para el cuatro maga fundamental operacion (adicion, sustraccion, multiplicacion y division). Ya conoce el medieval Europa con este metodo como el metodo del maga indio (Plantilla:Lang-la). Ta referi el posicional notacion al representacion o codificacion del maga numero por medio del mismo simbolo para el maga diferente orden de magnitud (e.g. el "lugar del maga unidad", el "lugar del maga decena", el "lugar del maga centena") y, con un decimal separador, el maga mismo simbolo para representa con el maga fraccion (e.g. el "lugar del maga decima", el "lugar del maga centesima", maga milesima, maga diezmilesima, etc.). Por ejemplo, ta denota 507.36 con 5 maga centena (10²), mas 0 maga decena (10¹), mas 7 maga unidad (10⁰), mas 3 maga decima (10⁻¹) mas 6 maga centesima (10⁻²).

Para este notacion, esencial el concepto de 0 como numero comparable al otro maga basico cifra, tanto como el concepto del uso de 0 como marcador, y tanto como el definicion del multiplicacion y el adicion con 0. Ya atestigua por primera vez, un jainista texto de India llamao el Lokavibhaga y escrio na 458 CE, con el uso de 0 como marcador y, entonces, el uso de un posicional notacion. Solo na aca-13 siglo, transmitio por el erudicion del arabe mundo, ya llega este maga concepto a Europa, cuando ya introduci si Fibonacci con este concepto por medio del indo-arabigo numeracion.

Ta consta el algorismo de todo el maga regla para realiza con el aritmetico calculo con este tipo de escrio cifra. Por ejemplo, ta produci el adicion con el suma de dos maga arbitrario numero. El suma es el resultao del repetio adicion del maga cifra de cualquier numero que ta ocupa con el mismo posicion, de derecha a izquierda. Ta mostra un tabla de adicion (con diez maga fila y diez maga columna, na un sistema de base 10) con todo el maga posible valor para cada suma. Si ta excede un individual suma con el valor 9, ta representa dos maga cifra con el resultao. El cifra al derecha es el valor para el actual posicion, y ta omenta el resultao para el subsiguiente adicion del maga cifra al izquierda por el valor del aca-segundo cifra (al izquierda), que es firmi uno (si no cero). Llamao este ajuste un acarreo del valor 1.

Similar el proceso para el multiplicacion de dos maga arbitrario numero al proceso para el adicion. Ta alista un tabla de multiplicacion (de nuevo con diez maga fila y diez maga columna) con el maga resultao para cada par de maga cifra. Si ta excede con 9 un individual producto de un par de maga digito, ta omenta el acarreo con el resultao de cualquier subsiguiente multiplicacion del maga cifra al izquierda por un valor igual al aca-segundo (al izquierda) cifra, que es cada valor de 1 a 8 (9 × 9 = 81). Ta defini maga adicional etapa con el final resultao.

Ta existe maga similar tecnica para el sustraccion y el division.

Ta conta el creacion de un correcto proceso para el multiplicacion con el relacion entre el maga valor del maga adyacente cifra. Ta depende del posicion el valor de cualquier cifra na un numero. Ademas, ta representa cada valor al izquierda con un valor diez veces mas grande que el posicion al derecha. Na maga matematico termino, ta omenta el exponente para el base de 10 por 1 (al izquierda), o ta baja por 1 (al derecha). Poreso ta multiplica el valor para cualquier arbitrario cifra por un valor del forma 10ⁿ con entero n. Escrio el lista de maga valor que ta corresponde a cada posible posicion para un solo cifra como {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻², ...}.

Ta produci el repetio multiplicacion de cualquier valor na este lista por 10 con otro valor na lista. Na maga matematico termino, definio este caracteristica como clausura, y descrio el previo lista como cerrao bajo multiplicacion. Es el base para incuntra correctamente con el maga resultao del multiplicacion por medio del previo tecnica. Este resultao es un solo ejemplo del maga uso del teoria del maga numero.

Teoria del maga numero

Hasta el aca-19 siglo, teoria del maga numero fue sinonimo con aritmetica. El maga problema tratao fue directamente relacionao con el maga basico operacion y ya trata con el primalidad, el divisibilidad y el solucion del maga ecuacion na maga entero, como el ultimo teorema de Fermat. Ya aparece que el mayoria de este maga problema, maskin declarao na maga muy simple termino, son de verdad muy dificil, ansina que imposible soluciona con ele sin muy profundo matematica que ta involucra con maga concepto y maga metodo de manada otro rama del matematica. Ya llega este con manada nuevo rama del teoria del maga numero como el analitico teoria del maga numero, el teoria del maga algebraico numero, el diofantico geometria y el aritmetico geometria. El prueba de Wiles del ultimo teorema de Fermat es un tipico ejemplo del necesidad de maga sofisticao metodo, que de lejos ta sobrepasa con el maga clasico metodo del aritmetico, para soluciona con el maga problema declarable na elemental aritmetica.

El aritmetica na el educacion

Ta enfoca fuertemente el primario educacion na matematica con el maga algoritmo para el aritmetica del maga natural numero, el maga entero, el maga fraccion, y el maga decimal (por medio del decimal sistema del posicional valor). Tiene vez conocio este sistema como el algorismo.

Por causa de este dificil y desinspirador metodo, ta cuestiona el maga educador con este curriculo, y ta advoca sila con el temprano enseñanza de maga mas central e intuitivo matematico idea. Un notable movimiento na este direccion fue el Moderno Matematica (English: New Math) del maga 1960 y maga 1970, que ya intenta con el enseñanza del aritmetico na el espiritu del axiomatico desarrollo desde el teoria del maga conjunto, un eco del dominante tendencia na el maga superior matematica.

Ademas, ya utiliza el maga islamico escolar para enseña con el aplicacion del maga fallo relacionao con zakat e irth. Ya explica si Abd-al-Fattah-al-Dumyati na el de suyo libro, El mejor del aritmetica (1887). Ta comienza el libro con el maga fundacion del matematica y ta procede al de suyo aplicacion na el maga posterior capitulo.